Ja, also guten Morgen. Nächste Vorlesung. Wie versprochen beginne ich heute mit der Übungsplatz

zwei und nächste Woche am Mittwoch dann wieder mit dem dritten Übungsblatt. Die erste auf,

also Übungsblatt. Aufgabe eins, da ging es nochmal um dieses Sieb des Eratostinis und die Frage,

ja bis wohin muss man aussieben oder bis zu welcher Zahl, um so und so weit ordentlich

gesiebt zu haben. Also genauer, um bei der Siebmethode alle Primzahlen kleiner,

oder ich schreibe das jetzt aus, kleiner gleich n auszusieben, genügt es die vielfachen

aller Primzahlen kleiner gleich Wurzel n zu streichen. Also das soll gezeigt werden,

dann ist, also wenn man es gezeigt hat, ist man sich sicher, man will bis irgendwohin alle

Primzahlen haben und alle anderen weg haben und dann weiß man eben, wie lange man, also man muss

nicht unnötig lange da arbeiten, man muss nicht bis n gehen um zu sieben, sondern man kann wesentlich

früher aufhören. Gibt es verschiedene Beweise? Sie haben sicherlich auch verschiedene Beweise

gemacht. Ich habe hier bei mir auch verschiedene Beweise stehen. Ich bringe jetzt hier einen,

der andere hat erst noch so eine andere Zusatz, also manchmal macht man extra,

beweist man erst einen anderen Satz aus dem man was folgt, das war mal eine andere Version,

aber jetzt mache ich so das direkt. Ich nehme, beweist, sei c kleiner gleich n eine zusammengesetzte Zahl.

Ich will wissen, durch eine Zahl welcher Größenordnung wird die gestrichen, dann bin ich fertig.

Die ist zusammengesetzt, ich kann sie also schreiben c als a mal b mit ja zusammengesetzt heißt,

es gibt so eine nicht triviale Zerlegung. Wir können also annehmen, dass beide Zahlen a sowie

auch b größer sind als eins und beide kleiner z. Welche jetzt größer, welche kleiner ist, ist egal.

Angenommen, wir wollen zeigen, dass c ja schon durch eine Zahl kleiner gleich Wurzel n gesiebt wird.

Also nehme ich an, ich will das durch Widerspruch machen, die wird nicht durch eine Zahl kleiner

gleich Wurzel n gesiebt. Das heißt, beide Zahlen hier wären größer Wurzel n. Wären also Widerspruch,

schreibe ich dann mein Widerspruch beweis, dazu nehme ich jetzt das an, was eben dann nicht gelten soll,

wären a sowie auch b beide größer, was mache ich jetzt, gestern zu Hause hat es noch gepasst,

also jetzt schreibt ihr erst mal ab, ich habe hier hingeschrieben größer Wurzel c, also ja bin ich

noch nicht mal größer Wurzel n, sondern davor, aber wir gucken mal, das bringt schon, es reicht schon.

Also angenommen, die wären beide größer als die Wurzel von c, das gilt natürlich nicht,

dann gilt auch das c, was ja a mal b ist, a und b kann ich beide gegen Wurzel c abschätzen,

also größer, Wurzel c zum Quadrat, also gleich c und das kann nicht größer c sein, also das geht

nicht, das heißt, wir können nicht beide, also hier beide steht da drin, da ist wenigstens eine

kleine Wurzel c, daraus folgt zum Beispiel a ist kleiner gleich Wurzel c, dann gilt das a kleiner

gleich Wurzel c und kleiner gleich c ist kleiner n, dann ist Wurzel c kleiner gleich Wurzel n,

jetzt sehen wir, dass das genau das ist, was wir haben wollten, dann ist a und natürlich auch,

falls a noch zerlegbar ist, jeder weitere Teiler davon kleiner gleich Wurzel n, dann ist das hier

und jeder Primenteiler, er ist recht, Primenteiler von a ebenfalls kleiner gleich Wurzel n, das heißt,

c wird durch a beziehungsweise jeden Primenteiler von a und dann die Vierfachen davon gesiebt,

also daraus folgt die Behauptung, also man muss die hier gar nicht annehmen, also man hätte

natürlich nehmen können, a ist der kleinste Teiler und gleich eins oder so, aber so stark

brauchen wir es hier gar nicht, also das ist jetzt ein direkter, wo man irgendwie, also ich finde auch die Widerspruchsbeweise sind meistens

direkt, man legt los und irgendwie, man kann, das kommt einfach so der Beweis und eine Möglichkeit,

da habe ich in anderen Semestern schon irgendwie noch mehr Aufgaben zu gemacht, aber ich glaube,

das reicht hier. Dann hier noch so ein paar weitere Aufgaben, einfach nur hier, wie sehen Zahlen aus,

kann man über Teilbarkeit sagen und so weiter, also in der Aufgabe 2 steht, wir haben eine natürliche Zahl,

die sei größer gleich 1, also 0 haben wir diesmal nicht, lassen wir es nicht zu, ist auch bei Teilbarkeit ja uninteressant,

dann ist die Frage, kann es eine Primzahl geben, kann es eine Primzahl P geben, die n teilt und auch n-1,

die n sowie, nicht n-1, sondern n plus 1 teilt, habe ich jetzt extra mal etwas anders hingeschrieben,

damit Sie da verschiedene Versionen sehen, ja wir nehmen an, also das ist jetzt wieder ganz klar, so was geht mal mit Widerspruch an,

wir nehmen natürlich an, wollen natürlich zeigen, dass das nicht gilt, also nehmen wir an, dass es gilt und führen es zum Widerspruch,

also ich nehme an, dass n ein Produkt ist P, also P ist Primzahl P mal a, wobei das mit der Primzahl hier auch gar nicht einlied,

und P mal b ist gleich n plus 1, also P ist Teiler von n plus 1 und P ist Teiler von n steht da, dann kann ich das natürlich umformulieren